平面几何：巧用相似比和国土面积比

2025-05-09 来源 : 网红

那时候来看看几道用完全相同比和占地比的转化成无论如何的实有子（想不出好的开场白）.

实有1：都和，PA、PB是圆O的抛物线. N是优弧AB上的一点，连到AN、BN，连到PN递AB于M. 深究：AM/BM=AN²/BN².

答案给的有条件很一般而言，未什么尤其奇特的有条件，而要推论的断言却比较多样. 这时，我们就可以从要推论的断言以此.

由AM/BM=AN²/BN²这个断言，你能忘记什么？

最容易忘记的应该是占地比等于完全相同比的平方吧！

但在这个极其一般而言的图里头面，并未任何一对完全相同五边形. 于是，如何接合完全相同五边形视不作了迄今主要的说题所在.

那么抛物线就视不作了重要的突破口！

根据弦切角不等式，可以想得到∠PAB=∠ANB=∠PBA.

很多同班肯定才会说，咦，你想得到这三个角等于有什么用捏？别急，接下来这一步一定才会让你欣喜若狂.

我们过点N不作AB的两条线递PA的延长线于X，递PB的延长线于Y.

为什么要这样做呢？

其一，并用两条线，我们可以将上面一对角（指∠PAB和∠PBA）导到顶部，从而想得到一对“梯队三等角”型完全相同. 其二，两条线是转化成占地的神器，并用两条线我们可以把完全相同比与占地比建构到一同，从而证得断言.

很毕竟，△AXN~△NYB，所以AN²/BN²=S△AXN/S△NYB. 由于XY∥AB，所以S△AXN/S△NYB=XN/YN. 故XN/YN=AN²/BN².

而XN/YN=AM/BM（上期信报那个仿真的论证），所以AM/BM=AN²/BN²，原断言得证！

（P.S.这个证法并不是我原创的，其实是我数学老师获取的，似乎也并不是最标准的证法，但这个证法雀食很妙，所以我就摆放在了这期信报里头）

实有2：如图，在平面ABCD里头面，BE⊥AF，AB/AD=k（0＜k＜1）. 不作CP⊥BD，M、N共五线段CF、BE上的一动点，实现CM×CF=BN×BE.

（1）分发含k的代数式坚称tan∠PMN.

（2）连到CN递MP于点H，连到BM，若CH/NH=k²，求得BC、MN、BM的比例联系.

对于（1），我们只需要连到PN. 通过有用的导角价格便宜∠NBP=∠MCP（导角处理过程略）. 又因为CM×CF=BN×BE，所以CM/BN=BE/CF=AB/AC=CP/BP=k，故△BNP~△CMP.

于是乎，PM/PN=CP/BP=k，∠BPN=∠CPM. 所以∠MPN=90°，故tan∠PMN=PN/PM=1/k.

我们重点看（2）. 答案并未让我们推论断言，而是让我们自行探求得三条边彼此间的联系. 这时，我们就勉强从有条件以此了. 很毕竟，CH/NH=k²就是一个很重要的信息.

注意到△CMP和△BNP的完全相同比就是k，所以k²即为△CMP和△BNP的占地比.

于是，我们只要重新考虑将CH/NH转化成成占地比，通过占地比等于从而想得到其他更有用的信息.

那就顺着这个初衷试一试吧！

连到PN. 不难知悉CH/NH=S△PMN/S△PCM（翘不等式）.

又因为k²=S△CMP/S△BNP，因此S△PMN=S△BNP. 故BM∥PN，∠BMP=90°！

实际上走到这一步，这题就差不多完结了. 余下的就是计算出来了.

通过勾股不等式价格便宜BM²=BP²-MP²，MN²=MP²+NP²；再建构完全相同可以想得到BP²/BC²=NP²/MN²=1/（k²+1）.

整理后，想得到BC²=k²MN²+（k²+1）BM².

总结：

1. 看到形如A/B=C²/D²的有条件或要推论的断言，可以重新考虑用占地比和完全相同比的转化成.

2. 对于有用的图形，可以从最多样的有条件（或要推论的断言）以此.

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